Hussein ALBAZZAL : "Analyse d’erreur a posteriori pour certains problèmes liés aux simulations de piles à combustible"

Résumé : La principale motivation de cette thèse est le besoin de simulations numériques efficaces des écoulements de gaz dans les canaux serpentins des piles à combustible à membrane échangeuse de protons. Nous considérons les modèles de Poisson et de Stokes dans un domaine 2D composé de plusieurs longues sections rectangulaires droites et de plusieurs coudes. Afin d'accélérer la résolution et de réduire les coûts de calcul, nous proposons des modèles 0D (un profil parabolique fixe pour l'équation de Poisson et l'écoulement de Poiseuille pour les équations de Stokes), et nous résolvons par éléments finis le modèle 2D dans les coudes. Afin d'atteindre la tolérance souhaitée de l'erreur entre la solution exacte et la solution approchée provenant du modèle couplé 0D/2D, nous devons surmonter un double défi : comment détecter la position appropriée de l'interface entre les modèles 0D et 2D et comment contrôler l'erreur de discrétisation dans les coudes. Pour cela, nous avons développé des estimateurs d'erreur a posteriori basés sur la reconstruction de flux équilibré dans les sous-domaines où la méthode des éléments finis est appliquée. Dans le modèle couplé 0D/2D pour Poisson, les estimations donnent une borne supérieure calculable garantie globale de la norme d'énergie de la solution. Dans le modèle couplé 0D/2D pour Stokes, les estimations donnent une borne supérieure garantie globale pour l'erreur H1 en vitesse et l'erreur L2 en pression sur le domaine entier. Dans ce dernier cas, l'estimateur fait intervenir la constante inf-sup qui est en général inconnue (dans nos cas de test, elle est cependant connue qu'elle est très petite), ce qui rend l'estimateur pas complètement calculable en pratique. Nous avons également étudié l'influence de la constante inf-sup sur l'efficacité des estimations d'erreur a posteriori et nous avons poursuivi quelques idées pour construire de nouveaux estimateurs garantis indépendants de la constante inf-sup. Des bornes inférieures globales pour l'erreur sont également dérivées pour les modèles de Poisson et de Stokes. Les estimateurs proposés peuvent être scindés en deux parties : une première indiquant l'erreur due à la position de l'interface et une seconde indiquant l'erreur due à la discrétisation. A l'aide de ces estimateurs, un algorithme est proposé pour choisir la position de l'interface et effectuer un raffinement adaptatif du maillage afin d'équilibrer les deux sources d'erreur et d'atteindre la précision souhaitée. Les estimateurs et l'algorithme adaptatif sont validés numériquement.

Composition du jury : 

Alexei LOZINSKI, Professeur, Université Bourgogne Franche-Comté, Directeur de thèse

Roberta TITTARELLI, Maîtresse de conférences, SUPMICROTECH-ENSMM, Co-encadrant de thèse

Martin VOHRALIK, Directeur de recherche, Inria Paris, Rapporteur

Jérôme  POUSIN, Professeur, Université de Lyon, Rapporteur

Véronique   MARTIN, Maîtresse de conférences, Université de Picardie Jules Verne, Examinateur

Toni SAYAH, Professeur, Université Saint Joseph de Beyrouth, Liban, Examinateur

Localisation : Amphithéâtre JJ Gagnepain, TEMIS, 15B Avenue des Montboucons - Besançon